선형사상

정의

선형사상_{linear map}은 벡터공간 사이의, 선형성을 만족하는 함수입니다.

체 $K$ 위의 벡터공간 $V$와 $W$ 사이의 어떤 함수 $T:V\to W$가 다음을 만족할때, 이를 선형사상이라고 합니다.

• $\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in VT(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$ (가산성)
• $\forall a\in K\forall \mathbf{v}\in VT(a\mathbf{v})=aT(\mathbf{v})$ (동차성)

더 일반적으로는, 이러한 성질을 선형성이라고 하고, 선형성을 갖는 함수가 선형이라고 합니다.

핵과 상

선형사상 $T$의 핵_kernel $\text{ker}(T)$는 $T$에 의해 영벡터로 보내지는 벡터들의 집합입니다.

$$\text{ker}(T):=\{\mathbf{v}\in V|T(\mathbf{v})=0_W\}$$

선형사상 $T$의 상_image $T(V)$는 $V$의 원소들이 $T$에 의해 변환된 벡터들의 집합입니다.

$$T(V):=\{T(\mathbf{v})|\mathbf{v}\in V\}$$

핵은 $V$의, 상은 $W$의 부분공간을 이룹니다.