벡터공간

정의

어떤 체 $K$에 대하여, 어떤 공집합이 아닌 집합 $V$가 벡터합($+:V\times V\to V$)과 스칼라곱($\cdot :K\times V\to V$)이 정의되어 다음의 성질들을 만족할 때 이러한 $V$와 같은 집합을 체 $K$ 위의 벡터공간_{vector space} 이라고 하고, 그 원소들을 벡터_vector라고 합니다.

성질

• 벡터합 $+$에 관한 성질
  • $\forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$ (벡터합의 결합법칙)
  • $\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in V\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$ (벡터합의 교환법칙)
  • $\exists 0\in V\forall \mathbf{v}\in V0+\mathbf{v}=\mathbf{v}$ (벡터합의 항등원의 존재성)
    • 이러한 $0$를 영벡터라고 부릅니다. 영벡터의 유일성은 이항연산의 항등원의 유일성을 적용해 보일 수 있습니다.
  • $\forall \mathbf{v}\in V\exists -\mathbf{v}\in V\mathbf{v}+(-\mathbf{v})=0$ (벡터합의 역원의 존재성)
    • 역원의 유일성도 마찬가지로 이항연산의 역원의 유일성을 적용해 보일 수 있습니다.
• 스칼라곱 $\cdot$에 관한 성질
  • $\forall a,b\in K\forall \mathbf{v}\in V(a\cdot b)\cdot \mathbf{v}=a\cdot (b\cdot \mathbf{v})$ (곱셈과 스칼라곱의 Compatibility??)
  • $\forall \mathbf{v}\in V{1}_K\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}$ (곱셈의 항등원은 스칼라곱의 왼쪽 항등원)
• 분배법칙
  • $\forall a\in K\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in Va\cdot (\mathbf{u}+\mathbf{v})=a\cdot \mathbf{u}+a\cdot \mathbf{v}$ (벡터합과 스칼라곱의 분배법칙)
  • $\forall a,b\in K\forall \mathbf{v}\in V(a+b)\cdot \mathbf{v}=a\cdot \mathbf{v}+b\cdot \mathbf{v}$ (덧셈과 스칼라곱의 분배법칙)

스칼라곱의 기호는 보통 생략됩니다. 즉, $s\cdot \mathbf{v}$를 $s\mathbf{v}$와 같이 쓰기도 합니다

예시

• 어떤 체 $K$의 $n$중쌍($n$-튜플) 집합 $K^n:=\{(a_1,a_2,\cdots ,a_n)|a_1,a_2,\cdots ,a_n\in K\}$은 다음과 같이 정의된 벡터합과 스칼라곱에 의해 벡터공간을 이룹니다.
  • $+:((a_1,\cdots ,a_n),(b_1,\cdots ,b_n))⟼(a_1+b_1,\cdots ,a_n+b_n)$
  • $\cdot :(s,(a_1,\cdots ,a_n))⟼(s{a}_1,\cdots ,s{a}_n)$
  • 아마 가장 기본적으로 알려진 ‘벡터’는 아마 이것일 것입니다. 사실 나중에 살펴볼 기저와 좌표에 의해, $K$ 위의 유한 차원 벡터공간은 $K^n$과 동형이 됩니다.
• 복소수 집합 $\mathbb{C}$는 실수 집합 $\mathbb{R}$ 위의 벡터공간을 이룹니다. 벡터합과 스칼라곱은 우리가 익히 아는 그 곱셈과 덧셈으로 정의하면 됩니다. 복소수는 두 개의 실수, 실수부와 허수부로 표현할 수 있으니, 아마 실수의 순서쌍(즉, 2-튜플)과 동형임을 유추해볼 수 있을 것입니다.

부분공간

체 $K$ 위의 어떤 벡터공간 $V$의 부분집합 $W$가 또한 벡터공간을 이룰 때, 이를 부분공간이라고 합니다. 다음을 만족하면 벡터공간의 성질을 만족하여 부분공간이 됩니다.

• $W\ne \varnothing$ ($W$가 공집합이 아님)
• $\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in W(\mathbf{u}+\mathbf{v})\in W$ ($W$ 안에서도 벡터합이 닫혀 있음)
• $\forall s\in K\forall \mathbf{v}\in Ws\mathbf{v}\in W$ ($W$ 안에서도 스칼라곱이 닫혀 있음)

첫번째 조건은 $0\in W$로 대체하여도 동치입니다. $W$가 공집합이 아니고 나머지 조건을 만족하면 항상 영벡터를 가지고, 영벡터를 가지면 공집합이 아니기 때문입니다.

예시

• 벡터공간의 영벡터 하나만을 가지는 부분집합 $\{0\}$은 부분공간을 이룹니다.
  • 이를 자명한 벡터공간_{Trivial Vector Space}라고 합니다. 벡터공간은 공집합일 수 없으므로, 가능한 벡터공간중 최소 크기를 갖습니다.
• 벡터공간의 공집합이 아닌 부분집합의 생성은 부분공간을 이룹니다.