내적공간

정의

체 $K$($\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$) 위의 벡터공간 $V$에 내적이 주어지면, 그 공간을 내적공간이라고 합니다.

내적

이항연산 $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to K$ 가 다음 성질을 만족할 때, 이를 내적_{inner product}이라고 합니다.

1. Conjugate symmetricity (켤레대칭성)
   • $⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩=\overline{⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩}$
2. Linearity in the first argument (첫 항에 대한 선형성)
   • $⟨a\mathbf{u}+b\mathbf{v},\mathbf{w}⟩=a⟨\mathbf{u},\mathbf{w}⟩+b⟨\mathbf{v},\mathbf{w}⟩$
3. Positive-definiteness (양의 정부호성)
   • $\mathbf{v}\ne 0⟹⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩>0$

또한 1과 2에 의해 다음을 얻습니다.

• Conjugate linearity in second argument (둘째 항에 대한 켤레선형성)
  • $⟨\mathbf{u},a\mathbf{v}+b\mathbf{w}⟩=\overline{a}⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩+\overline{b}⟨\mathbf{u},\mathbf{w}⟩$

예시

벡터공간 ${\mathbb{C}}^n$에서 대표적으로 다음과 같은 내적을 정의할 수 있습니다.

$$⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩=\sum _{k=1}^n{\mathbf{u}}_k\overline{{\mathbf{v}}_k}$$

이는 위의 세 성질을 모두 만족합니다.

직교

내적을 이용하여 직교를 다음과 같이 정의합니다.

• $V$ 위의 두 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$가 직교함은 $⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩=0$과 동치이다.

직교의 기호는 $\perp$입니다. $\mathbf{u}\perp \mathbf{v}$와 같이 씁니다.

노름

노름_norm은 우리가 벡터의 크기라고 부르는 것을 정의합니다. 노름 또한 내적과 같이 일반화하여 정의할 수 있으나, 여기서는 일단 한 가지 대표적인 예시만을 다루겠습니다.

내적이 주어지면 벡터의 노름 $\Vert \cdot \Vert :V\to K$을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

$$\Vert \mathbf{v}\Vert :=\sqrt{⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩}$$

${\mathbb{R}}^n$에서 이 정의에 위의 내적을 적용하면 정확히 유클리드 공간에서의 길이의 정의와 일치하는 것을 알 수 있습니다.

노름이 주어진 공간을 노름공간이라고 합니다. 내적공간에서는 노름을 위의 예시처럼 항상 정의할 수 있으므로, 내적공간은 항상 노름공간입니다.

더 알아볼 것

내적공간은 노름공간을 함의하고, 노름공간은 다시 거리공간을 함의합니다. 이외에도 여러 공간들이 만족하는 성질들에 관하여 더 공부하면 재미있을 것 같습니다.