체

정의

어떤 공집합이 아닌 집합 $F$와 그 집합에 닫힌 두 이항연산 덧셈$+$과 곱셈$\cdot$이 정의되어 다음과 같은 성질을 만족할 때 체_field를 이룬다고 말합니다.

성질

• 덧셈 $+$에 관한 성질:
  • $\forall a,b\in Fa+b=b+a$ (덧셈의 교환법칙)
  • $\forall a,b,c\in F(a+b)+c=a+(b+c)$ (덧셈의 결합법칙)
  • $\exists 0_F\in F\forall a\in F{0}_F+a=a+0_F=a$ (덧셈의 항등원의 존재성)
  • $\forall a\in F\exists -a\in Fa+(-a)=(-a)+a=0_F$ (덧셈의 역원의 존재성)
• 곱셈 $\cdot$에 관한 성질:
  • $\forall a,b\in Fa\cdot b=b\cdot a$ (곱셈의 교환법칙)
  • $\forall a,b,c\in F(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ (곱셈의 결합법칙)
  • $\exists 1_F\in F\forall a\in F{1}_F\cdot a=a\cdot 1_F=a$ (곱셈의 항등원의 존재성)
  • $\forall a\in F\setminus \{0_F\}\exists a^{-1}\in Fa\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1_F$ (곱셈의 역원의 존재성)
• 덧셈과 곱셈에 관한 성질:
  • $\forall a,b,c\in Fa\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ (덧셈과 곱셈의 분배법칙)

간단히 말해 사칙연산이 실수와 같이 잘 정의되는 대수적 구조입니다. 대표적으로는 유리수, 실수, 복소수, 유한체 등이 있습니다.

곱셈의 기호는 보통 생략됩니다. 즉, $a\cdot b$를 $ab$와 같이 쓰기도 합니다.

항등원의 유일성

어떤 이항연산에 항등원이 존재하면 유일함을 어렵지 않게 알 수 있습니다.

$e_1$과 $e_2$가 어떤 이항연산 $\ast$의 항등원이라고 합시다. 그러면 $e_1\ast e_2$의 값은 항등원의 정의에 따라 $e_1\ast e_2=e_1$이면서 동시에 $e_1\ast e_2=e_2$입니다. 따라서 $e_1=e_2$가 성립합니다.

역원의 유일성

어떤 결합법칙을 만족하는 이항연산에 원소 $a$에 대해 역원이 존재하면 유일함을 알 수 있습니다.

$e$를 항등원, $b_1$과 $b_2$가 모두 이항연산 $\ast$에서 $a$의 역원이라고 합시다. 그러면

$b_1=b_1\ast e=b_1\ast (a\ast b_2)=(b_1\ast a)\ast b_2=e\ast b_2=b_2$

이므로 $b_1=b_2$가 성립합니다.