선형결합과 선형생성

선형결합

선형결합_{linear combination}은 각 벡터에 어떤 스칼라를 곱하여 더한 값을 말합니다. 즉, 어떤 스칼라 수열 $a_i$에 대해,

$$\sum _{i=1}^n{a}_i{\mathbf{v}}_i=a_1{\mathbf{v}}_1+a_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n$$

꼴로 표현되는 벡터를 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$의 선형결합이라고 말합니다.

선형생성

어떤 $S=\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$의 생성 $\text{span}(S)$은 선형결합들의 집합을 말합니다. 즉,

$$\text{span}(S):=\left\{\sum _{i=1}^n{a}_i{\mathbf{v}}_i|n\in \mathbb{N},a_i\in K,{\mathbf{v}}_i\in S\right\}$$

입니다.

어떤 벡터공간 $V$의 부분집합 $S$의 생성 $\text{span}(S)$는 $V$의 부분공간을 이룹니다.