기저

소개

어떤 벡터공간의 기저_basis는 서로 일차독립이면서 그 벡터공간을 생성하는 벡터들의 집합을 말합니다.

선형종속, 선형독립

어떤 벡터들 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$이 일차종속, 혹은 선형종속이라 함은 다음을 뜻합니다.

$$\exists (a_1,\cdots ,a_n)\in K^n\setminus \{(0,\cdots ,0)\}\sum _{k=1}^n{a}_k{\mathbf{v}}_k=0$$

일차종속이 아니면 일차독립, 혹은 선형독립이라고 합니다. 즉, 어떤 벡터들에 스칼라들을 곱해서 더해 영벡터가 될 때, 그 스칼라가 항상 0일 수밖에 없을 때 그 벡터들이 선형독립이라고 합니다.

극대 선형독립 집합

어떤 벡터공간 $V$의 벡터들의 집합 $S=\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$이 극대 선형독립 집합이라 함은 다음을 뜻합니다.

• $S$의 원소들은 선형독립이다.
• $V$의 어떠한 벡터 $\mathbf{v}$에 대해서도, $S$에 $\mathbf{v}$를 추가한 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n,\mathbf{v}$가 선형종속이다.

두번째 조건은 $S$가 $V$를 생성함과 동치이므로 이러한 정의는 기저의 정의와 동치이고, 따라서 극대 선형독립 집합은 기저를 이루며 역도 성립합니다.

기저의 예시

• $(1,0,\cdots ,0),(0,1,\cdots ,0),\cdots ,(0,0,\cdots ,1)$은 ${\mathbb{R}}^n$의 기저를 이룹니다.
• $1$과 허수단위 $i$는 $\mathbb{R}$ 위의 벡터공간으로서의 $\mathbb{C}$의 기저를 이룹니다.

좌표

각 원소에 순서가 주어진 기저를 순서기저라고 합니다.

벡터공간의 순서기저가 주어졌을 때, 이 벡터공간의 벡터는 순서기저의 선형결합으로 유일하게 표현됩니다. 따라서 각 기저 벡터에 곱해지는 스칼라들을 유일하게 결정할 수 있고, 이를 튜플로 표현할 수 있습니다. 이것을 그 기저에 대한 좌표_coordinate라고 합니다.