역행렬

역행렬은 행렬의 곱셈의 역원입니다. 어떤 정방행렬 $A$에 대해 $AB=I$를 만족하는 행렬 $B$가 존재할 때, $B$를 $A$의 역행렬이라고 하고, $A^{-1}$와 같이 나타냅니다.

정칙행렬

어떤 정방행렬의 행렬식이 0이 아닐 때, 이 행렬을 정칙행렬이라고 합니다. 어떤 행렬이 정칙행렬임은 역행렬을 가질 필요충분조건이므로 가역행렬이라고도 합니다.

구하는 방법

가우스 소거법

어떤 정방행렬 $A$가 주어졌을 때, 이와 단위행렬 $I$를 붙여 첨가행렬 $(A|I)$를 구성해줍니다. 그 후, 기본 행연산을 수행하여 좌측의 행렬을 단위행렬로 만들면, 우측의 행렬은 $A^{-1}$이 됩니다.

고전적 수반 행렬

고전적 수반 행렬_{adjugate matrix, 또는 classical adjoint matrix}은 어떤 정방행렬의 여인수를 성분으로 가지는 여인수 행렬 $C$의 전치행렬입니다. 어떤 정방행렬 $A$의 고전적 수반 행렬을 $\text{adj}(A)$와 같이 씁니다. 즉,

$$\text{adj}(A)=C^T=[(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}{]}^T$$

입니다. 이때 정칙행렬 $A$에 대해

$$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\text{adj}(A)$$

이 성립함이 알려져 있습니다.

특히 $2\times 2$행렬을 예로 들면, $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$에 대해서 $\text{adj}(A)=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$이고, $A$가 정칙행렬이라면 $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\text{adj}(A)=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$입니다.