행렬식

행렬식은 정방행렬에 스칼라를 대응시키는 함수입니다. $det(A)$, 또는 $|A|$와 같이 표시합니다.

구하는 방법

라이프니츠 공식

어떤 행렬 $A={\left[\begin{array}{c}{a}_{ij}\end{array}\right]}_{1\le i,j\le n}$가 있을 때, $det(A)$의 값은 다음과 같습니다.

$$\text{det}(A)=\sum _{\sigma \in \text{Sym}(n)}\left(\text{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}\right)$$

여기서 $\text{Sym}$은 대칭군을, $\text{sgn}$은 순열의 부호함수를 뜻합니다.

크기가 작은 행렬의 행렬식

크기가 작은 행렬에 대해서 예를 들면 다음과 같습니다.

$2\times 2$

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

$3\times 3$

$$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg$$

삼각행렬

삼각행렬의 경우, 대각 성분만을 선택하는 항 이외에는 모두 0을 곱하게 되므로 결과적으로 대각 성분들의 곱이 행렬식이 됩니다. 행렬식의 성질을 이용해 삼각행렬을 만든 후 이를 이용해 행렬식을 구할 수도 있습니다.

여인수 전개

여인수_cofactor 전개(혹은 라플라스 전개)를 이용하여 행렬식을 더 작은 행렬의 행렬식들의 합으로 전개할 수 있습니다.

여인수

정방행렬 $A$의 소행렬식 $M_{ij}$는 $A$에서 $i$행과 $j$열을 지운 부분행렬의 행렬식입니다. $A$의 여인수 $C_{ij}$는 다음과 같이 정의됩니다.

$$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

즉, 해당 행과 열을 제외한 행렬의 행렬식에, 행과 열의 홀짝성에 따라 부호를 뒤집은 것입니다.

여인수 전개

여인수를 이용하여 $A$의 행렬식을 전개할 수 있습니다. 어떤 행 $i$행을 잡고 다음과 같이 전개합니다.

$$\text{det}(A)=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{C}_{ik}$$

혹은 다음과 같이 어떤 열 $j$열을 잡고 전개할 수도 있습니다.

$$det(A)=\sum _{k=1}^n{a}_{kj}{C}_{kj}$$

이렇게 임의의 행이나 열을 잡아 전개해도 항상 값이 같음이 알려져 있습니다.

성질

행렬식의 성질로는 다음과 같은 것들이 있습니다.

• 하나의 행 또는 열에 실수 $k$를 곱하면, 행렬식은 $k$배가 된다.
• 하나의 행 또는 열이 모두 $0$이면, 행렬식의 값은 $0$이다.
• 두 행 또는 두 열을 서로 교환하면, 행렬식은 $-1$배가 된다.
• 하나의 행 또는 열에 임의의 실수를 곱하여 다른 행 또는 열에 더하더라도 행렬식은 변하지 않는다.
• 어떤 행렬과 그 전치행렬의 행렬식은 같다.
• 행렬의 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같다. 즉, $detAB=detA\times detB=detBA$이다.