벡터공간의 차원

소개

유한한 크기의 기저들을 갖는 벡터공간은 그 기저들의 크기가 일정합니다. 이를 그 벡터공간의 차원이라고 합니다.

증명

보조정리

$K$ 위의 벡터공간 $V$의 어떤 유한한 기저 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\}$가 주어졌다고 합시다. 이 기저보다 크기가 큰 $V$의 유한 부분집합 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}(n>m)$은 항상 선형종속입니다.

${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$가 선형독립이라고 합시다. 그러면 기저의 정의에 따라 ${\mathbf{v}}_1$은 기저 ${\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m$의 선형결합 $a_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +a_m{\mathbf{u}}_m$으로 표현할 수 있습니다. 선형독립인 벡터들엔 영벡터가 존재할 수 없으므로 $a_1,\cdots ,a_m$중 적어도 하나는 $0$이 아닙니다. 기저의 순서를 재배열하여 이것이 $a_1$이 되도록 할 수 있습니다. 그러면 ${\mathbf{u}}_1=-(a_1{)}^{-1}(-{\mathbf{v}}_1+a_2{\mathbf{u}}_2+\cdots +a_m{\mathbf{u}}_m)$이 성립하여 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m$이 새로운 기저를 이루게 됩니다.

${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{k-1},{\mathbf{u}}_k,\cdots ,{\mathbf{u}}_m(2\le k\le m-1)$이 기저를 이룬다고 합시다. 그러면 ${\mathbf{v}}_k$는 이들의 선형결합 $a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_{k-1}{\mathbf{v}}_{k-1}+a_k{\mathbf{u}}_k+\cdots +a_m{\mathbf{u}}_m$으로 표현할 수 있습니다. 그런데 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$이 선형독립이라고 가정했으므로, $a_k,\cdots ,a_m$중 적어도 하나는 $0$이 아닙니다. 기저의 순서를 재배열하여 이것이 $a_k$가 되도록 할 수 있습니다. 그러면 ${\mathbf{u}}_k=-(a_k{)}^{-1}(a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_{k-1}{\mathbf{v}}_{k-1}-{\mathbf{v}}_k+a_{k+1}{\mathbf{u}}_{k+1}+\cdots a_m{\mathbf{u}}_m)$이 성립하여 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k,{\mathbf{u}}_{k+1},\cdots ,{\mathbf{u}}_m$이 새로운 기저를 이루게 됩니다.

마지막으로 같은 프로세스로 ${\mathbf{u}}_m$을 ${\mathbf{v}}_m$으로 대체할 수 있고, 그렇게 귀납적으로 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_m$은 기저를 이루게 됩니다. 그런데 $n>m$이라고 했으니 ${\mathbf{v}}_{m+1}$은 이들과 선형독립이어야 하는데, 그러면 기저의 정의와 모순되어 가정이 깨집니다. 따라서 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$은 선형종속입니다.

그러므로,

한 벡터공간의 두 유한 기저가 주어졌을때, 둘의 크기가 다르다면 크기가 큰 쪽이 선형종속이 되어 기저의 정의에 위배됩니다. 따라서 둘은 항상 크기가 같아야 하고, 나아가 그 벡터공간이 가지는 모든 기저의 크기는 동일합니다.